Pembahasan Matematika Ipa Um-Ugm 2018

Berikut ini ialah Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM-UGM 2018 Kode 575. Silahkan dipelajari bersama sebagai materi latihan untuk mempersiapkan diri adik-adik yang akan mengikuti seleksi Ujian Tulis Universitas Gadjah Mada (UTUL UGM) tahun depan (2019). Ingat, persiapan dari awal tentu akan memberi hasil yang lebih baik.

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 1
Akar-akar persamaan ${{x}^{2}}+px+27=0$ ialah ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ yang semuanya positif dan ${{x}_{2}} > {{x}_{1}}$. Jika ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, dan $5{{x}_{1}}$ berturut-turut suku pertama, suku kedua, dan suku ketiga barisan aritmetika, maka suku kesepuluh ialah …
A. 55   B. 57   C. 59   D. 61   E. 63
Pembahasan:
Persamaan kuadrat: ${{x}^{2}}+px+27=0$ akar-akar ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$, maka:
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-p\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-p-{{x}_{2}}$
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=27$
Barisan Aritmetika: ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, dan $5{{x}_{1}}$ maka:
$2{{x}_{2}}={{x}_{1}}+5{{x}_{1}}$
$2{{x}_{2}}=6{{x}_{1}}$
${{x}_{2}}=3{{x}_{1}}$
${{x}_{2}}=3(-p-{{x}_{2}})$
${{x}_{2}}=-3p-3{{x}_{2}}$
$4{{x}_{2}}=-3p\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\frac{-3p}{4}$
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=27$
$(-p-{{x}_{2}}){{x}_{2}}=27$
$\left( -p+\frac{3p}{4} \right).\frac{-3p}{4}=27$
$\left( -\frac{p}{4} \right).\frac{-3p}{4}=27$
$\frac{3{{p}^{2}}}{16}=27$
$p=\pm 12$
lantaran ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ positif diperoleh bahwa $p < 0$, $p=-12$
${{x}_{2}}=\frac{-3p}{4}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\frac{-3.(-12)}{4}=9$
${{x}_{1}}=-p-{{x}_{2}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-(-12)-9=3$
Barisan aritmetika:
3, 9, 15, …, beda (b) = 6, a = 3
${{U}_{10}}=a+9b=3+9.6=57$
Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 2
Jika $x > y\ge 1$ dan $\log ({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy)=2\log ({{x}^{2}}-{{y}^{2}})$, maka ${}^{x}\log (1+y)$ = …
A. log 2   B. $-1$   C. $-\frac{1}{2}$   D. $\frac{1}{2}$   E. 1
Pembahasan:
$\log ({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy)=2\log ({{x}^{2}}-{{y}^{2}})$
$2.\log (x+y)=2.\log ({{x}^{2}}-{{y}^{2}})$
$\log (x+y)=\log [(x+y)(x-y)]$
$\log (x+y)=\log (x+y)+\log (x-y)$
$0=\log (x-y)$
$x-y=1\Leftrightarrow x=y+1$
${}^{x}\log (1+y)={}^{y+1}\log (1+y)=1$
Kunci: E

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 3

Jika bilangan bundar $p$ merupakan akar $f(x)=0$ dengan $f(x)=p{{x}^{2}}-3x-p-3$, maka gradien garis singgung kurva $y=f(x)$ di titik dengan absis $x=p$ ialah …

A. -5   B. -3   C. -1   D. 3   E. 5

Pembahasan:

$f(x)=p{{x}^{2}}-3x-p-3$

$x=p$ maka $f(x)=0$

$f(p)={{p}^{3}}-4p-3=0$

$(p+1)({{p}^{2}}-p-3)=0$

$(p+1)({{p}^{2}}-p-3)=0$

${{p}^{2}}-p-3=0$

$p=\frac{1\pm \sqrt{1-4.1.(-3)}}{2.1}=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}$

$p+1=0\Leftrightarrow p=-1$

Sementara kita hindari bentuk akar maka kita pilih $p=-1$

$f(x)=p{{x}^{2}}-3x-p-3$

$f(x)=-1.{{x}^{2}}-3x-(-1)-3$

$f(x)=-{{x}^{2}}-3x-2$

$f'(x)=-2x-3$

Gradien garis singgung di absis $x=p=-1$ adalah:

$f'(-1)=-2.(-1)-3=-1$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 4

Pertidaksamaan ${}^{2}\log ({{x}^{2}}-x)\le 1$ memiliki penyelesaian …

A. $x < 0$ atau $x > 1$

B. $-1 < x < 2$, $x\ne 1$, $x\ne 0$

C. $-1\le x < 0$ atau $1 < x \le 2$

D. $-1\le x\le 0$ atau $1\le x\le 2$

E. $-1 < x < 0$ atau $1\le x < 2$

Pembahasan:

Syarat:

${{x}^{2}}-x > 0$

$x(x-1) > 0$

$x < 0$ atau $x > 1$ ….. (1)

${}^{2}\log ({{x}^{2}}-x)\le 1$

${{x}^{2}}-x\le {{2}^{1}}$

${{x}^{2}}-x-2\le 0$

$(x+1)(x-2)\le 0$

$-1\le x\le 2$ …. (2)

HP ialah irisan dari (1) dan (2) yaitu:

$-1\le x < 0$ atau $1 < x \le 2$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 5
Jika fungsi $f$, dengan $f(x)=\sqrt[3]{{{x}^{3}}+{{m}^{3}}{{x}^{6}}}$ turun pada $(-\infty ,-1]$, maka $8{{m}^{3}}+8$ = …
A. 16   B. 12   C. 8   D. 4   E. 0
Pembahasan: (Soal tak jelas)
$f(x)=\sqrt[3]{{{x}^{3}}+{{m}^{3}}{{x}^{6}}}$, turun maka $f'(x) < 0$
$f(x)={{({{x}^{3}}+{{m}^{3}}{{x}^{6}})}^{\frac{1}{3}}}$
$f'(x)=\frac{1}{3}{{({{x}^{3}}+{{m}^{3}}{{x}^{6}})}^{\frac{1}{3}-1}}.(3{{x}^{2}}+6{{m}^{3}}{{x}^{5}})$
$f'(x)=\frac{1}{3}{{({{x}^{3}}+{{m}^{3}}{{x}^{6}})}^{-\frac{2}{3}}}.(3{{x}^{2}}+6{{m}^{3}}{{x}^{5}})$
Dari soal stasioner diperoleh untuk:
$f'(1)=0$
$\frac{1}{3}{{({{1}^{3}}+{{m}^{3}}{{.1}^{6}})}^{-\frac{2}{3}}}.({{3.1}^{2}}+6{{m}^{3}}{{.1}^{5}})=0$
${{(1+{{m}^{3}})}^{-\frac{2}{3}}}.(3+6{{m}^{3}})=0$
$3+6{{m}^{3}}=0$ kali dengan $\frac{4}{3}$
$4+8{{m}^{3}}=0$ tambah kedua ruas dengan 4
$4+8{{m}^{3}}+4=0+4$
$8{{m}^{3}}+8=4$
Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 6

Diketahui $m$ ialah sisa pembagian polinomial $h(x)={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x+2$ oleh $x-1$. Nilai $k$ yang memenuhi $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{m{{x}^{3}}-kx+5}{k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7}-k \right)=0$ ialah …
A. -1   B. 0   C. $\frac{1}{2}$   D. 1   E. 2
Pembahasan: (soal kabur)
$h(x)={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x+2$ dibagi $x-1$ sisanya $m$
$m=h(1)={{1}^{3}}-{{1}^{2}}+2.1+2=4$
$m={{1}^{3}}-{{1}^{2}}+2.1+2\Leftrightarrow m=4$
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{m{{x}^{3}}-kx+5}{k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7}-k \right)=0$
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{4{{x}^{3}}-kx+5}{k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7}-k \right)=0$
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{4{{x}^{3}}-kx+5}{k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7}-\frac{k(k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7)}{k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7} \right)=0$
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{4{{x}^{3}}-kx+5}{k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7}-\frac{{{k}^{2}}{{x}^{3}}+3k{{x}^{2}}-7k}{k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7} \right)=0$
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{(4-{{k}^{2}}){{x}^{3}}-3k{{x}^{2}}-kx+5+7k}{k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7} \right)=0$
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{(4-{{k}^{2}}){{x}^{3}}}{k{{x}^{3}}} \right)=0$
$\frac{4-{{k}^{2}}}{k}=0;k\ne 0$
$4-{{k}^{2}}=0$
$(2+k)(2-k)=0$
$k=-2$ atau $k=2$
Kunci: E

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 7

Suatu deret geometri tak sampai memiliki jumlah $\frac{9}{4}$. Suku pertama dan rasio deret tersebut masing-masing $a$ dan $-\frac{1}{a}$, dengan $a > 0$. Jika ${{U}_{n}}$ menyatakan suku ke-n pada deret tersebut, maka $3{{U}_{6}}-{{U}_{5}}$ = …

A. 0   B. $\frac{2}{27}$   C. $-\frac{2}{27}$   D. $\frac{1}{27}$  E. $-\frac{1}{27}$

Pembahasan:

Deret Geometri Tak Hingga

${{S}_{\infty }}=\frac{9}{4}$, ${{U}_{1}}=a$, $r=-\frac{1}{a}$

$\frac{{{U}_{1}}}{1-r}=\frac{9}{4}$

$\frac{a}{1+\frac{1}{a}}=\frac{9}{4}$

$4a=9+\frac{9}{a}$

$4{{a}^{2}}=9a+9$

$4{{a}^{2}}-9a-9=0$

$(4a+3)(a-3)=0$

$a=-\frac{3}{4}$ atau $a=3$, $a > 0$

Maka: $a=3$ dan $r=-\frac{1}{3}$

$3{{U}_{6}}-{{U}_{5}}=3.a{{r}^{5}}-a{{r}^{4}}$

$=a{{r}^{4}}(3r-1)$

$=3.{{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{4}}\left( 3.\left( -\frac{1}{3} \right)-1 \right)$

$=3.\left( \frac{1}{81} \right)\left( -2 \right)$

$=\frac{-2}{27}$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 8

Jumlah suatu deret geometri tak sampai ialah 10, dan jumlah suku-suku bernomor ganjil ialah 6. Suku ke-2 deret tersebut ialah …

A. $\frac{20}{3}$   B. $\frac{20}{6}$   C. $\frac{20}{9}$   D. $\frac{20}{11}$   E. $\frac{20}{13}$

Pembahasan:

Deret Geometri Tak Hingga

${{S}_{\infty }}=10$

${{S}_{ganjil}}+{{S}_{genap}}=10$

${{S}_{ganjil}}+6=10$

${{S}_{ganjil}}=4$

$r=\frac{{{S}_{ganjil}}}{{{S}_{genap}}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

${{S}_{\infty }}=10$

$\frac{a}{1-r}=10$

$\frac{a}{1-\frac{2}{3}}=10$

$a=\frac{10}{3}$

${{U}_{2}}=ar=\frac{10}{3}.\frac{2}{3}=\frac{20}{9}$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 9

Suku banyak $P(x)=a{{x}^{5}}+{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+cx+d$ berturut-turut bersisa 3 dan -7 dikala dibagi $x+1$ dan $x-1$. Sisa pembagian P(x) oleh $x$ ialah …

A. -4   B. -2   C. 0   D. 2   E. 4

Pembahasan:

$P(x)=a{{x}^{5}}+{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+cx+d$ dibagi $x+1$ sisa 3

$P(-1)=-a+1-b+1-c+d=3$

$-a-b-c+d=1$ …. Persamaan (1)

$P(x)=a{{x}^{5}}+{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+cx+d$ dibagi $x-1$ sisa -7

$P(1)=a+1+b+1+c+d=-7$

$a+b+c+d=-9$… Persamaan (2)

$-a-b-c+d=1$ …. Persamaan (1)

------------------------- (+)

$2d=-8\Leftrightarrow d=-4$

$P(x)=a{{x}^{5}}+{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+cx+d$ dibagi $x$ maka sisanya adalah:

$P(0)=d=-4$

Kunci: A

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 10

Diberikan suku banyak $p(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+a$ dengan $a\ne 0$. Jika ${{x}^{2}}+nx+1$ merupakan faktor $p(x)$, maka $n$ = …

A. -3   B. -2   C. -1   D. 1   E. 3

Pembahasan:

$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+a=({{x}^{2}}+nx+1)(ax+a)$

$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+a=a{{x}^{3}}+(a+an){{x}^{2}}+(an+a)x+a$

$0=an+a$

$0=a(n+1)$

$n+1=0\Leftrightarrow n=-1$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 11

Jika $(p,q)$ merupakan klimaks grafik fungsi $f(x)=a{{x}^{2}}+2ax+a+1$, dengan $f(a)=19$ maka $p+2q+3a$ = …

A. 7   B. 6   C. 0   D. -1   E. -2

Pembahasan:

$f(x)=a{{x}^{2}}+2ax+a+1$

$f(a)={{a}^{3}}+2{{a}^{2}}+a+1=19$

${{a}^{3}}+2{{a}^{2}}+a-18=0$

$(a-2)({{a}^{2}}+4a+9)=0$

${{a}^{2}}+4a+9=0$ nilai $a$ imaginer lantaran D < 0

$a-2=0\Leftrightarrow a=2$

$f(x)=a{{x}^{2}}+2ax+a+1$

$f(x)=2{{x}^{2}}+4x+3$

$(p,q)=\left( \frac{-b}{2a},\frac{{{b}^{2}}-4ac}{-4a} \right)$

$(p,q)=\left( \frac{-4}{2.2},\frac{{{4}^{2}}-4.2.3}{-4.2} \right)$

$(p,q)=\left( -1,1 \right)$

$p+2q+3a=-1+2.1+3.2=7$

Kunci: A

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 12

Diketahui ${{P}_{1}}$ ialah pencerminan titik $P(2,k)$ terhadap garis $y=x$. Jika luas segitiga $PO{{P}_{1}}$ ialah 6, maka |k| = …

A. $2\sqrt{2}$   B. $2\sqrt{3}$   C. $\sqrt{10}$   D. 4   E. 16

Pembahasan:

$P(2,k)$ dicerminkan terhadap garis $y=x$ menghasilkan ${{P}_{1}}(k,2)$. Luas segitiga $PO{{P}_{1}}$ dengan $O(0,0)$ adalah:

$\frac{1}{2}\left| \left| \begin{matrix}   2 & k  \\   0 & 0  \\ \end{matrix} \right|+\left| \begin{matrix}   0 & 0  \\   k & 2  \\ \end{matrix} \right|+\left| \begin{matrix}   k & 2  \\   2 & k  \\ \end{matrix} \right| \right|=6$

$\frac{1}{2}\left| 0+0+{{k}^{2}}-4 \right|=6$

${{k}^{2}}-4=6$

${{k}^{2}}=10\Leftrightarrow k=\sqrt{10}$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 13
Diketahui proyeksi vektor $v$ pada vektor $u$ sama dengan proyeksi vektor $w$ pada vektor $u$. Jika $2v.u=\sqrt{3}|v||u|$ dan $2w.u=|w||u|$, maka $\frac{v.w}{|v||w|}$ = …
A. $\frac{1}{2}$   B. $\frac{1}{2}\sqrt{2}$  C. $\frac{1}{2}\sqrt{3}$   D. 1   E. $\frac{1}{2}\sqrt{5}$
Pembahasan:
$2v.u=\sqrt{3}|v||u|$
$\frac{v.u}{|v||u|}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$\cos (u,v)=\frac{1}{2}\sqrt{3}\Leftrightarrow \angle (u,v)={{30}^{o}}$
$2w.u=|w||u|$
$\frac{w.u}{|w||u|}=\frac{1}{2}$
$\cos (w,u)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \angle (w,u)={{60}^{o}}$
Perhatikan gambar berikut!

Dari gambar diperoleh bahwa $\angle (v,w)={{30}^{o}}$
$\cos \angle (v,w)=\frac{v.w}{|v|.|w|}$
$\cos {{30}^{o}}=\frac{v.w}{|v|.|w|}$
$\frac{1}{2}\sqrt{3}=\frac{v.w}{|v|.|w|}$
Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 14

Diketahui segitiga ABC dengan $|BC|=2\sqrt{3}$ dan $\angle BAC={{60}^{o}}$. Jika $|AC|+|AB|=6$, maka $||AC|-|AB||$ = …

A. $\frac{1}{2}$   B. 1   C. $\frac{3}{2}$   D. 2   E. $\frac{5}{2}$

Pembahasan:

$\angle BAC={{60}^{o}}$

Aturan cosinus:

$\cos \angle BAC=\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2.AB.AC}$

$\cos {{60}^{o}}=\frac{{{(AB+AC)}^{2}}-2.AB.AC-B{{C}^{2}}}{2.AB.AC}$

$\frac{1}{2}=\frac{{{(AB+AC)}^{2}}-2.AB.AC-B{{C}^{2}}}{2.AB.AC}$

$1=\frac{{{6}^{2}}-2.AB.AC-{{(2\sqrt{3})}^{2}}}{AB.AC}$

$AB.AC=36-2.AB.AC-12$

$3.AB.AC=24$

$AB.AC=8$

${{(AC-AB)}^{2}}=A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-2.AC.AB$

${{(AC-AB)}^{2}}={{(AC+AB)}^{2}}-2.AC.AB-2.AC.AB$

${{(AC-AB)}^{2}}={{6}^{2}}-4.AC.AB$

${{(AC-AB)}^{2}}=36-4.8$

${{(AC-AB)}^{2}}=4$

$AC-AB=2$

Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 15

Diberikan lingkaran pada bidang koordinat yang memotong sumbu-X di (1,0) dan (3,0). Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu-Y, maka titik singgung yang mungkin ialah …

A. (0,1)

B. (0,2)

C. (0, $\sqrt{3}$)

D. (0, $\sqrt{5}$)

E. (0,3)

Pembahasan:

Titik sentra lingkaran ialah (a,b), maka lingkaran melalui titik (1,0), (3,0), (0,b).

Bentuk umum persamaan lingkaran: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+Ax+By+C=0$, $B=-2b$ 

Lingkaran melalui titik (1,0) maka:

${{1}^{2}}+{{0}^{2}}+A.1+B.0+C=0$

$A+C=-1$

Lingkaran melalui titik (3,0) maka:

${{3}^{2}}+{{0}^{2}}+A.3+B.0+C=0$

$3A+C=-9$

$A+C=-1$

--------------- (-)

$2A=-8\Leftrightarrow A=-4,C=3$

Lingkaran melalui titik (0, b), dan $B=-2b$maka:

${{0}^{2}}+{{y}^{2}}+A.0+B.b+3=0$

${{b}^{2}}+(-2b).b+3=0$

$-{{b}^{2}}+3=0$

${{b}^{2}}=3\Leftrightarrow b=\pm \sqrt{3}$

Titik singgung lingkaran yang mungkin ialah $(0,-\sqrt{3})$ dan $(0,\sqrt{3})$

Kunci: C

Pembahasan lain menyusul disebabkan foto soal yang diterima oleh penulis terlihat kabur. Semoga besok sudah diterima foto soal yang lebih baik.

Baca juga: Soal dan Pembahasan Matematika Dasar UTUL UGM 2018 Kode 585