Persamaan Trigonometri Dasar

Soal Latihan Persamaan Trigonometri dan Pembahasannya:
PETUNJUK: Sebaiknya kerjakan terlebih dahulu secara mandiri, sehabis itu silahkan klik "Pembahasan" untuk memastikan tanggapan yang kau buat apakah sudah benar atau belum.
#No. 1
Diketahui persamaan $\sqrt2 \cos x - 1 = 0$; $0^o \le x \le 360^o$, maka nilai $x$ yang memenuhi yaitu ...
A. {$45^o, 135^o$}
B. {$90^o, 270^o$}
C. {$45^o, 315^o$}
D. {$45^o$}
E. {$45^o, 135^o, 225^o, 315^o$}

$\sqrt2 \cos x - 1 = 0$
$\sqrt2 \cos x = 1$
$\cos x = \frac{1}{\sqrt2}$
$\cos x = \frac{1}{2}\sqrt2$
$\cos x = \cos 45^o$
(i) $x = a + k.360^o$
$x = 45^o + k.360^o$
$\begin{align} k = 0 \Rightarrow x &= 45^o + 0(360^o) \\ &= 45^o \end{align}$
(ii) $x = -a + k.360^o$
$x = -45^o + k.360^o$
$\begin{align} k = 1 \Rightarrow x &= -45^o + 1.(360^o) \\ &= -45^o + 360^o \\ x &= 315^o \end{align}$
HP = {$45^o, 315^o$}
Jawaban: C

#No. 2
Untuk $0^o \le x \le 180^o$, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri $4\sin x - 2 = 0$ yaitu ...
A. {$30^o$}
B. {$30^o, 150^o$}
C. {$60^o$}
D. {$60^o, 120^o$}
E. {$45^o, 145^o$}

$4\sin x - 2 = 0$
$4\sin x = 2$
$\sin x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\sin x = \sin 30^o$
(i) $x = a + k.360^o$
$x = 30^o + k.360^o$
$\begin{align} k = 0 \Rightarrow x &= 30^o + 0.(360^o) \\ &= 30^o \end{align}$
(ii) $x = (180^o-a) + k.360^o$
$x = (180^o - 30^o) + k.360^o$
$x = 150^o + k.360^o$
$\begin{align} k = 0 \Rightarrow x &= 150^o + 0.(360^o) \\ &= 150^o \end{align}$
HP = {$30^o, 150^o$}
Jawaban: B

#No. 3
Himpunan penyelesaian dari persamaan $2\cos (2x - 60^o) - 1 = 0$ untuk $0^o \le x \le 180^o$ yaitu ...
A. {$45^o, 135^o$}
B. {$60^o, 165^o$}
C. {$45^o, 180^o$}
D. {$60^o, 180^o$}
E. {$135^o, 180^o$}

$2\cos (2x - 60^o) - 1 = 0$
$2\cos (2x - 60^o) = 1$
$\cos (2x - 60^o) = \frac{1}{2}$
$\cos (2x - 60^o) = \cos 60^o$
Rumus: (i) $x = a + k.360^o$, maka:
$\begin{align} 2x - 60^o &= 60^o + k.360^o \\ 2x &= 60^o + 60^o + k.360^o \\ 2x &= 120^o + k.360^o \\ x &= 60^o + k.180^o \end{align}$
$\begin{align} k = 0 \Rightarrow x &= 60^o + 0.(180^o) \\ &= 60^o \end{align}$
Rumus: (ii) $x = -a + k.360^o$, maka:
$\begin{align} 2x - 60^o &= -60^o + k.360^o \\ 2x &= -60^o + 60^o + k.360^o \\ 2x &= k.360^o \\ x &= k.180^o \end{align}$
$\begin{align} k = 0 \Rightarrow x &= 0.(180^o) \\ &= 0^o  \\ k = 1 \Rightarrow x &= 1.(180^o) \\ &= 180^o \end{align}$
HP = {$0^o, 60^o, 180^o$}
Jawaban: D

#No. 4
Jika $\alpha$ dan $\beta$ himpunan penyelesaian dari persamaan $2\sin^2 x = 3\sin x + 2$, $0^o \le x \le 360^o$, maka nilai $\alpha + \beta$ = ...
A. $\frac{5}{6}\pi$
B. $\frac{10}{6}\pi$
C. $3\pi$
D. $\frac{20}{6}\pi$
E. $4\pi$

$2\sin^2 x = 3\sin x + 2$
$2\sin^2 x - 3\sin x - 2 = 0$
$(2\sin x + 1)(\sin x - 2) = 0$
$2\sin x + 1 = 0$ atau $\sin x - 2 = 0$
$2\sin x = -1$ atau $\sin x = 2$, untuk $\sin x = 2$ tidak memenuhi lantaran nilai $\sin x$ maksimum 1.
$2\sin x = -1$
$\sin x = -\frac{1}{2}$
$\sin x = -\sin 30^o$
$\sin x = \sin -30^o$
Rumus: (i) $x = a + k.360^o$, maka:
$\begin{align} x &= -30^o + k.360^o \\ k = 1 \Rightarrow x &= -30^o + 1.(360^o) \\ x &= 330^o = \alpha \end{align}$
Rumus: (ii) $x = (180^o-a) + k.360^o$, maka:
$\begin{align} x &= (180^+30^o) + k.360^o \\ x &= 210^o + k.360^o \\ k = 0 \Rightarrow x &= 210^o + 0.(360^o) \\ x &= 210^o = \beta \end{align}$
maka:
$\begin{align} \alpha + \beta &= 330^0 + 210^o \\ &= 540^o \\ &= 3.(180^o) \\ &= 3\pi \end{align}$
Jawaban: C

#No. 5

Untuk $0 \le x \le 2\pi$, himpunan semua nilai $x$ yang memenuhi: $\cos^4 x - \sin^4 x = 1$ yaitu ...

A. {$0, \pi, 2\pi$}
B. {$\pi, 2\pi$}
C. {$\frac{1}{2}\pi, \frac{1}{12}\pi$}
D. {$\frac{3}{2}\pi$}
E. {$\frac{5}{12}\pi$}

$\cos^4 x - \sin^4 x = 1$
$(\cos^2 x + \sin^2 x)(\cos^2 x - \sin^2 x) = 1$
$1.(\cos^2 x - \sin^2 x) = 1$
$\cos^2 x - (1 - \cos^2 x) - 1 = 0$
$2\cos^2 x - 2 = 0$
$\cos^2 x - 1 = 0$
$(\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$
$\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi$
$\cos x = 1 \Rightarrow x = 0, 2\pi$
Jawaban: A